Основы теории очередей. Модель теории очередей, или модель массового обслуживания Использование теории очередей при создании систем массового обслуживания в коммерческой деятельности

Теория массового обслуживания , или очередей (англ. queueing theory ), - раздел теории вероятностей , целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящих из неё, длительности ожидания и длины очередей . В теории массового обслуживания используются методы теории вероятностей и математической статистики .

История

Первые задачи теории массового обслуживания (ТМО ) были рассмотрены сотрудником Копенгагенской телефонной компании, ученым Агнером Эрлангом , в период между 1908 и 1922 годами. Стояла задача упорядочить работу телефонной станции и заранее рассчитать качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств.

Поток

Однородный поток

Поток заявок однороден , если:

• все заявки равноправны,
• рассматриваются только моменты времени поступления заявок, то есть факты заявок без уточнения деталей каждой конкретной заявки.

Поток без последействия

Поток без последействия , если число событий любого интервала времени ( t {\displaystyle t} , ) не зависит от числа событий на любом другом не пересекающемся с нашим ( t {\displaystyle t} , t + x {\displaystyle t+x} ) интервале времени.

Стационарный поток

Поток заявок стационарен , если вероятность появления n событий на интервале времени ( t {\displaystyle t} , t + x {\displaystyle t+x} ) не зависит от времени t {\displaystyle t} , а зависит только от длины x {\displaystyle x} этого участка.

Простейший поток

Однородный стационарный поток без последействий является простейшим , потоком Пуассона .

Число n {\displaystyle n} событий такого потока, выпадающих на интервал длины x {\displaystyle x} , распределено по Закону Пуассона :

P (n , x) = (λ x) n e − λ x n ! . {\displaystyle P(n,x)={\frac {(\lambda x)^{n}e^{-\lambda x}}{n!}}.}

Пуассоновский поток заявок удобен при решении задач ТМО. Строго говоря, простейшие потоки редки на практике, однако многие моделируемые потоки допустимо рассматривать как простейшие.

Нормальный поток

Cтационарный поток без последействий, для которого интервалы между событиями распределены по нормальному закону, называется нормальным потоком : f (t) = 1 2 π σ t exp ⁡ − 1 2 (t − m t σ t) 2 {\displaystyle f(t)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{t}}}\exp {-{\frac {1}{2}}\left({\frac {t-m_{t}}{\sigma _{t}}}\right)^{2}}} .

Поток Эрланга

Потоком Эрланга k {\displaystyle k} -го порядка называется стационарный поток без последействий, у которого интервалы между событиями представляют собой сумму k + 1 {\displaystyle k+1} независимых случайных величин, распределенных одинаково по экспоненциальному закону с параметром λ {\displaystyle \lambda } . При k = 0 {\displaystyle k=0} поток Эрланга является простейшим потоком.

Плотность распределения случайной величины T-интервала между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k {\displaystyle k} -го порядка равна: f k (t) = λ (λ t) k Γ (α) exp ⁡ − β t {\displaystyle f_{k}(t)={\frac {\lambda (\lambda t)^{k}}{\Gamma (\alpha)}}\exp {-\beta t}} , t > 0 , α ⩾ 1 {\displaystyle t>0,\alpha \geqslant 1} .

Гамма-поток

Гамма-потоком называется стационарный поток без последействий, у которого интервалы между событиями представляют собой случайные величины, подчиненные гамма-распределению с параметрами α {\displaystyle \alpha } и β {\displaystyle \beta } : f (t) = β α t α − 1 k ! exp ⁡ − λ t {\displaystyle f(t)={\frac {\beta ^{\alpha }t^{\alpha -1}}{k!}}\exp {-\lambda t}} , t > 0 {\displaystyle t>0} , где Γ (α) = ∫ 0 ∞ x α − 1 exp ⁡ − x d x {\displaystyle \Gamma (\alpha)=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\exp {-x}dx} .

При α = k + 1 {\displaystyle \alpha =k+1} гамма-поток является потоком Эрланга k {\displaystyle k} -го порядка.

Мгновенная плотность

Мгновенная плотность (интенсивность ) потока равна пределу отношения среднего числа событий, приходящихся на элементарный интервал времени ( t {\displaystyle t} , t + x {\displaystyle t+x} ) к длине интервала ( x {\displaystyle x} ), когда последний стремится к нулю.

λ (t) = lim x → 0 (M (t + x) − M (t) x) {\displaystyle \lambda (t)=\lim _{x\to 0}\left({\frac {M(t+x)-M(t)}{x}}\right)}

или, для простейшего потока,

λ = M (x) x , {\displaystyle \lambda ={\frac {M(x)}{x}},}

где M (x) {\displaystyle M(x)} равно

МОДУЛЬ 1. (25/25)

01. Какой документ не входит в систему международных договоров в рамках ВТО?
Венская конвенция

02. Что из перечисленного характеризует порядок предоставления услуг в рамках соглашения ГАТС?
доступ и использование услуг, которые требуются странам-членам ВТО для предоставления обществу в целом

03. Как ведет себя предложение услуг на стадии рост объема продаж и развития нового продукта?
предприниматель осуществляет инвестиции в строительство отелей и других элементов обслуживающей инфраструктуры

04. Что означает понятие транспарентности?
обеспечение свободного доступа к финансовой, юридической, бухгалтерской и прочей информации

05. Что не включается в понятие постоянных издержек в сфере обслуживания?
оплата труда на основе объема предоставленных услуг

06. Какое из перечисленных международных соглашений в области регулирования производства и потребления нематериальных благ было подписано в 1883 г.?
Парижская конвенция

07. Какая из перечисленных международных организаций осуществляет регулирование в сфере услуг
Всемирная Торговая Организация (ВТО)

08. Что следует понимать под следующим высказыванием: производство и потребление услуг не отделимы друг от друга?
потребление услуги происходит в месте ее производства и при использовании оборудования ее создателя

09. Что означает диверсификация в сфере услуг?
развитие производства многих видов услуг, создание новых обслуживающих отраслей

10. Какой из перечисленных секторов услуг стоит на 6-м месте по общему объему экспорта товаров и услуг в мире?
Туризм

11. Что означает «невидимость» услуг?
клиенты сами едут за покупкой конкретного блага, которое, в свою очередь, не может быть транспортировано потребителю в место его постоянного проживания

12. В какой период был справедлив аргумент Раймонда Вернона о том, что большинство новых продуктов создаются в США?
с 1945 по 1975 гг. (в текте - на протяжении ХХ века)

13. В какой из перечисленных стран вклад туристской отрасли в ВВП максимальный?
Макао, провинция Китая

14. Какую величину составляет мировой экспорт услуг в настоящее время?
4,3 трлн долл.

15. В чем заключается гетерогенность услуг?
различное восприятие одной и той же услуги разными группами клиентов

16. На какой из стадий жизненного цикла производства услуг спрос достигает максимума?
зрелая стадия развития рынка нового вида услуги

17. На какой из стадий жизненного цикла производства услуг предложение достигает максимума?
насыщение и стагнация рынка нового вида услуги

18. Что означает косвенное влияние производства туристских услуг на занятость в стране?
обеспечивает занятость в фирмах, являющихся поставщиками для обслуживающих предприятий

19. Как образуется взаимозависимость услуг?
ак правило, услуги предоставляются в комплексе с другими сопутствующими продуктами

20. Какая доля в ВВП приходится на услуги в развитых странах?
70%

21. Какая из перечисленных стран получает больше всех валютных поступлений от международного туризма?
США

22. Какой из перечисленных базовых принципов ГАТС включается в понятие общих (универсальных) требований?
режим наибольшего благоприятствования

23. Какое из перечисленных свойств услуг относится к универсальному?
потребительная стоимость

24. Какой из перечисленных факторов не влияет на сезонность спроса на услуги обслуживающих фирм?
возникновение экономического кризиса в стране, которая потребляет услуги данных обслуживающих фирм

25. Какая из перечисленных стадий не относится к стадиям жизненного цикла продукции?
производство максимального объема единиц услуг на рынке приводит к истощению ресурсов и поиску мер, которые могут переключить спрос клиентов на другую продукцию

1
Чем можно объяснить незначительные инвестиционные затраты при предоставлении услуг
инфраструктура, на основе которой создаются услуги, находится в ведении многих секторов национальной экономики

Модуль 2 (использовал ответы Колючки + исправления) – оценка 5

Вопрос 1
Какой из сформулированных вопросов не относится к процессу создания услуг?
для кого производить?
Вопрос 2
На какой из перечисленных моментов обращают внимание при управлении очередями?
определение допустимого, или приемлемого, времени ожидания клиентов в очереди
Вопрос 3
Какой из перечисленных способов относится к эффективным методам поиска отслеживания клиентов?
организация специальных выставок
Вопрос 4
Какая теория используется при управлении очередями?
теория баланса низкого уровня затрат
Вопрос 5
Каково направление реализации цепочки команд на обслуживающих предприятиях?
от высшего уровня менеджмента к низшему и снизу вверх
Вопрос 6
Какой из перечисленных принципов относится к составляющим MICRO-стратегий для игроков в отрасли, согласно модели Олианы Пун?
обслуживающая компания должна быть лидером в качестве услуг
Вопрос 7
Какая группа клиентов, как правило, обладает большей предельной склонностью к потреблению услуг?
зарубежные клиенты
Вопрос 8
Какой из перечисленных факторов относится к ключевым особенностям успешной системы обслуживания?
уровень обучения и профессионализма обслуживающей организации
Вопрос 9
Какая из перечисленных систем обслуживания занимает первое место в мире по степени привлекательности?
Walt Disney World
Вопрос 10
Какой из перечисленных видов гостиниц относится к типам организации обслуживающей системы в отеле:
отели с ограниченным числом предоставляемых услуг
Вопрос 11
Какая величина агрегированных издержек соответствует оптимальному уровню загруженности обслуживающих мощностей?
минимальная
Вопрос 12
Какова одна из самых главных проблем, с которыми сталкиваются сегодня менеджеры в сфере обслуживания?
развитие нормативной организационной структуры, которая нацелена на высокое качество услуг
Вопрос 13
Что такое организация как функция?
процесс структурирования человеческих и физических ресурсов для достижения организационных целей
Вопрос 14
Какой из перечисленных принципов относится к составляющим MАCRO-стратегий для игроков в отрасли, согласно модели Олианы Пун?
создание динамичного частного сектора услуг
Вопрос 15
В чем состоит центральная проблема почти в каждой ситуации ожидания в очереди?
поиск компромисса
Вопрос 16
Что такое процесс делегирования полномочий?
формализованный канал, который обозначает линии, векторы делегирования полномочий сверху вниз в системе обслуживания
Вопрос 17
Какая страна достигла наибольших высот в организации выставочной деятельности?
Германия
Вопрос 18
Какой метод применяется менеджерами компаний в большинстве случаев при управлении системой очередей?
метод случайного распределения клиентов во времени
Вопрос 19
На какой из перечисленных факторов ориентируется обслуживающая компания при мотивации клиентов к покупке ее услуг?
уникальность услуг
Вопрос 20
Кто считается основоположником практики организации обслуживающей системы?
Конрад Хилтон
Вопрос 21
Что помогают делать знания в области управления очередями?
создавать графики работы и расписания
Вопрос 22
Что такое децентрализация системы обслуживания?
процесс распределения полномочий в обслуживающей организации, когда ее члены имеют право принимать решения без одобрения высшего управленца
Вопрос 23
Каково основное правило, устанавливающее порядок предоставления услуг клиентам в очереди?
клиенты в очереди обслуживаются на основе хронологического порядка их прибытия
Вопрос 24
Что такое диагональная интеграция предприятий сектора услуг?
объединение предприятий в рамках единого экономического субъекта, который расположен в различных подотраслях индустрии обслуживания
Вопрос 25
От чего зависит количество сотрудников, которых может проконтролировать один менеджер в обслуживающей системе?
от простоты выполняемых заданий

1
Какой из перечисленных компонентов входит в понятие системы очереди?
объем клиентуры и способ, посредством которого клиенты попадают в компанию

1
Какая из перечисленных особенностей характеризует систему очередей?
дисциплина в очереди

1
Какая из перечисленных моделей относится к организационным системам обслуживания?
модель Олианы Пун

1
При каком уровне агрегированных издержек образуется соответствие издержек увеличения обслуживающего персонала и издержек ожидания в очереди
Минимальном

1
По какой из перечисленных причин клиенты не покупают товары и услуги в зарубежных странах?
благо не является уникальным или специфичным

Модуль 3. Оценка - 5.

01. Какие крупнейшие финансовые структуры контролируют бразильский банковский рынок?
Banco Bradesco и Itausa Investmentos

02. Какая из перечисленных категорий граждан может, главным образом, воспользоваться в России туристическими товарами и услугами?
зарубежные туристы

03. Какая из перечисленных компаний является крупнейшей специализированной корпорацией по страхованию жизни на китайском рынке?
China Life Insurance Company Limited

04. Какой новый вид услуг запустил на рынок Industrial and Commercial Bank of China?
мобильные и телефонные услуги, основанные на технологии WAP, персонифицированные Интернет-услуги VIP для высокодоходных клиентов, предполагающие услуги экспертов и эксклюзивные консультации

05. Какой из перечисленных брендов обслуживания был создан компанией «Ингосстрах»
Правильный

06. Какое из перечисленных условий соответствует критериям справедливой торговли услугами?
цена-премиум, добавляемая к базовой цене, которую производители могут использовать для развития коммуникативной структуры в обществе, например, школы, госпитали, обучающие программы

07. Какова доля граждан России, которые потенциально могут воспользоваться услугами обслуживающих фирм?
20–25%

08. Какая из перечисленных компаний придерживается стратегии «двойного хаба» при предоставлении услуг авиаперелета?
China Southern Airlines Company Limited

09. Какие из перечисленных телекоммуникационных услуг были разработаны China Telecom?
“BizNavigator”, “Push Mail”, “Mega-Eye”, “Integrated Office”, “imusic”, “Mobile IM” и “e surfing chat”

10. Какая из перечисленных групп, созданных для эффективного управления клиентской базой, приносит максимальную прибыль компании «ВымпелКом»?
физические лица

12. Каков в настоящее время уровень физиологического прожиточного минимума в России?
5554 руб.

13. Какой новый IT-продукт и услугу представил национальному рынку банк Baroda?
«Система управления корпоративной наличностью»

14. В чем причина подбора сочетания букв, произносимых как «ПИК», в названиях обслуживающих систем компаний в разных странах мира?
в стремлении конкретной компании достичь вершины в предоставлении определенного вида услуг

15. По какому показателю China Construction Bank Corporation стоит на первом месте в мире?
обслуживает около 112 млн клиентов через свою сеть банкоматов

16. С какой целью «Сбербанк» принялся за реализацию программы Производственной Системы?
для повышения уровня клиентоориентированности

17. На каких направлениях маркетинговой политики компания Satyam Computer Services обладает конкурентными преимуществами?
работа с клиентами в специализированных отраслях индийской экономики и зарубежных стран, разработка информационных систем и их обслуживание, консультации и поиск производственных и интегрированных инжиниринговых решений, предоставление услуг управления инфраструктурой предприятия и аутсорсинга

18. Какой из перечисленных видов услуг предоставляется компанией Tata Consultancy в рамках Глобальной Сетевой Модели Доставки?
услуги по созданию межконтинентальной сети центров развития, современной телекоммуникационной сети по поиску увольняемых талантливых кадров и системы инструментов глобального сотрудничества

19. Что сделало китайское правительство для недопущения жесткой конкуренции между основными компаниями по предоставлению телекоммуникационных услуг в стране?
выдало три разные лицензии на предоставление телекоммуникационных услуг третьего поколения трем операторам мобильной связи в этой стране
20. Какая из перечисленных проблем характеризует Россию как развивающееся государство?
утечка квалифицированной рабочей силы, которую можно было бы привлечь в сектор обслуживания

21. Какова доля граждан России, не удовлетворяющих свои потребности в социализации (например, посещении театров и кинотеатров)?
60–70%

22. Какой из перечисленных пунктов характеризует уникальность предоставляемых услуг компанией Reliance Communications?
располагает крупнейшей в мире подводной кабельной сетью, охватывающей 60 стран

23. Какой из перечисленных признаков характеризует российскую сферу услуг?
наличие развитой и разветвленной сети автомобильных и железных дорог (-) (этот ответ защитало как неверный)

24. На какие телекоммуникационные услуги имеет место постоянный рост спроса на национальном рынке Китая?
SMS, Color Ring, MMS и WAP

25. В чем состоит специфика организации системы обслуживания Indian Overseas Bank?
выполняет роль корпоративного агента индийской страховой компании Life Insurance Company и поэтому имеет возможность предоставлять услуги страхования

Модуль 4. Оценка - 5.

01. Какие страны являются лидерами на мировом рынке услуг аутсорсинга?
Индия и Китай

02. Какой из перечисленных методов относится к общеприменимым способам рекрутинга как особого вида услуг?
набор персонала внутри организации

03. Каково действительное положение с безработицей США при осуществлении аутсорсинга?
в условиях гибких рынков рабочей силы большинство рабочих, потерявших рабочие места, так или иначе, снова найдут работу в более производительных отраслях экономики

04. Какой из перечисленных критериев характеризует контракты с завышенной стоимостью?
контракты, вытесненные с рынка вследствие недостатка спроса

05. Каковы ожидания клиентов в Великобритании от национальной системы банковского обслуживания?
бесплатное получение текущих счетов и оплата услуг банкоматов

06. Почему в модели аутсорсингового контракта особое внимание уделяют стадии покупки услуг?
чтобы сопоставить различные предложения с несколькими моделями производства услуг и условиями контракта

07. Какие происходят процессы, трансформировавшие сферу услуг в конце ХХ – начале XXI вв.?
оффшоринг и аутсорсинг

08. Какую долю составляют трансграничные денежные переводы в еврозоне?
1–2%

09. Для каких секторов российские компании могут предлагать высокую добавленную стоимость при обслуживании транснациональных компаний на высокотехнологичном уровне?
страхование, аудит, топливно-энергетический комплекс, металлургия, телекоммуникации, авиационная промышленность, образование

10. Под влиянием какого фактора граница эффективности аутсорсинговых контрактов сдвигается вверх и влево?
происходит сокращение числа участников рыночных сделок и замедление конкурентных процессов

11. Какую характеристику в иностранной экономической печати приобрели глобальные банки, кризис которых считается нежелательным?
“too big to fail”

12. Какой из перечисленных факторов относится к внутренним при формировании аутсорсингового контракта?
производственная практика

13. Какой кризис стал тестом на прочность для банковских систем обслуживания многих развивающихся стран?
Азиатский финансовый кризис 1997–1998 гг.

14. Какое из перечисленных средств относится к способам набора персонала за пределами организации?
помощь со стороны рекрутинговых агентств

15. Какой из перечисленных этапов характеризует процесс селекции?
проверка рекомендаций на соискателя

16. В чем специфика банковской системы обслуживания в Германии?
германские сбербанки в большинстве своем находятся во владении местных властей и застрахованы ими

17. Как называются принципы, закрепляющие основные нормы функционирования банковских систем обслуживания?
Базельские соглашения

18. Какие из перечисленных услуг относятся к стратегическим услугам высокой стоимости?
бизнес-консалтинг и IT-консалтинг

19. Что представляет из себя граница эффективности контрактов на предоставление аутсорсинговых услуг?
кривая текущего, имеющегося предложения аутсорсинговых услуг на рынке

20. Почему контракт, находящийся далеко за пределами границы эффективности, недоступен для покупателей?
происходит сдвиг границы эффективности в сторону от данного контракта под влиянием некоторых факторов

21. Какие виды рисков играют основную роль при организации банковских систем обслуживания?
кредитный риск (риск невыплаты кредита банку) и рыночный риск (риск инвестирования в ценные бумаги)

22. Какой из перечисленных пунктов является подходом к организации банковских систем обслуживания?
государственная банковская система, в которой банки являются дополнительными органами правительства и застрахованы им от провалов

23. На каком этапе становления участником глобального рынка аутсорсинговых услуг находится Россия?
транснациональный участник внешнего рынка

24. Почему британские банки видят малый полезный эффект в конкуренции за завоевание новых клиентов посредством оказания более дешевых и качественных услуг?
клиенты редко меняют местонахождение своих счетов, и если они это делают, то в большинстве случаев не потому, что они недовольны, а потому, что их не привлеки чем-либо более выгодным

25. На каких стадиях российские компании постепенно приобретают способности добавлять стоимость к контрактам о предоставлении услуг?
на стадии разработки услуг и на стадии управления ими

1
Какое название носит панъевропейская система денежных переводов в режиме реального времени?
TARGET

1
Что необходимо сделать рекрутеру до проведения собеседования со соискателем?
установить срок собеседования

1
Что такое кастомизация?
ориентация на одного, конкретного, избранного клиента

Ожидание того или иного вида обслуживания является частью нашей повседневной жизни. Мы ожидаем, чтобы пообедать в ресторане, мы стоим в очереди к кассам в магазинах и выстраиваемся в очередь в почтовых отделениях. Очередь возникает практически во всех присутственных местах: налоговых инспекциях, паспортных столах, страховых компаниях и пр. Феномен ожидания характерен не только для людей: работы, поставленные в очередь для выполнения; группа пассажирских самолетов, ожидающих разрешения на посадку в аэропорту; автомобили, движение которых приостановлено сигналом светофора на пути их следования, грузовые суда, ожидающие погрузки/разгрузки в порту, и т.п.

Изучение очередей в системах массового обслуживания (СМО) озволяет определить критерии функционирования обслуживающей системы, среди которых наиболее значимыми являются среднее время ожидания в очереди и средняя длина очереди. Эта информация используется затем для выбора надлежащего уровня обслуживания, что продемонстрировано в следующем примере.

Пример 2.6.1. Физические лица, сдающие декларацию о доходах, жалуются на медленное обслуживание. В настоящее время в данном подразделении работают три налоговых инспектора. В результате расчетов, формулы для которых мы рассмотрим ниже, обнаружена следующая зависимость между числом инспекторов и временем ожидания обслуживания.

Число инспекторов 1 2 3 4 5 6 7

Среднее время ожидания 80.2 50.3 34.9 24.8 14.912.9 9.4

______(минуты) _______________________________________

Приведенные данные свидетельствуют о том, что при работающих в настоящее время трех инспекторах среднее время ожидания обслуживания примерно равно 35 минут. По мнению посетителей, приемлемо было бы 15 минут ожидания. Как следует из этих же данных, среднее время ожидания становится меньше 15 минут, если число инспекторов больше или равно пяти.

Результаты исследования системы обслуживания также можно использовать для оптимизации модели со стоимостными характеристиками, в которой минимизируется сумма затрат, связанных с предоставлением услуг, и потерь, обусловленных задержками в их предоставлении. На рис. 2.6.1 изображена типичная стоимостная модель системы обслуживания, где затраты на обслуживание возрастают с ростом его уровня. В то же время потери, обусловленные задержками в предоставлении услуг, уменьшаются с возрастанием уровня обслуживания.

Уровень обслуживания

Главной проблемой, связанной с применением стоимостных моделей, является трудность оценки потерь в единицу времени, обусловленных задержками в предоставлении услуг.

Задачи массового обслуживания возникают в том случае, когда заявки на обслуживание (или требования ) не могут быть выполнены в силу занятости обслуживающего персонала (оборудования) или сама обслуживающая система оказывается бездействующей в силу отсутствия заявок. При моделировании данных задач используются фундаментальные понятия теории вероятности, т.к. случайными оказываются поток требований или длительность времени обслуживания, или и то и другое. При решении этих задач приходится определять либо оптимальное число обслуживающих каналов, либо оптимальную скорость потока (или находить моменты поступления заявок).

Класс моделей, пригодных для решения подобных задач, называют еще теорией очередей.

Эта теория представляет особый раздел теории случайных процессов и использует, в основном, аппарат теории вероятностей. Первые публикации в этой области относятся к 20-м гг. XX в. и принадлежат датчанину А. Эрлангу, занимавшемуся исследованиями функционирования телефонных станций – типичных СМО, где случайны моменты вызова, факт занятости абонента или всех каналов, продолжительность разговора. В дальнейшем теория очередей нашла развитие в работах К.Пальма, Ф.Поллачека, А.Я.Хинчина, Б.В.Гнеденко, А.Кофмана, Р.Крюона, Т. Cаати и других отечественных и зарубежных математиков.

При решении задач, связанных с очередями, возможны две ситуации:

а) число заказов слишком велико; имеет место большое время ожидания (недостаточный объем обслуживающего оборудования );

б) поступает недостаточное число заказов; имеет место простой оборудования (избыток оборудования ).

Необходимо найти оптимальное соотношение между потерями, вызванными простоем оборудования, и потерями из-за ожидания.

В качестве основных элементов СМО следует выделить входной поток заявок, очередь на обслуживание, cистему (механизм) обслуживания и выходящий поток заявок. В роли заявок (требований, вызовов) могут выступать покупатели в магазине, телефонные вызовы, поезда при подходе к железнодорожному узлу, вагоны под разгрузкой, автомашины на станции техобслуживания, самолеты в ожидании разрешения на взлет, штабель бревен при погрузке на автотранспорт. Роль обслуживающих приборов (каналов, линий) играют продавцы или кассиры в магазине, таможенники, пожарные машины, взлетно-посадочные полосы, экзаменаторы, ремонтные бригады.

По характеру случайного процесса, происходящего в СМО, различают системы марковские и немарковские.

Случайный процесс называется марковским , если для любого момента времени t вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. Рассмотренные ниже модели относятся к марковским системам.

В случае немарковских процессов задачи исследования СМО значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.

Сегодня во многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешения на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах снабженческо-сбытовых организаций в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств. Изучение таких ситуаций относится к задачам теории очередей.

При дальнейшем развитии массового обслуживания применение принципов теории очередей в управлении различного рода организациях является необходимым условием их благополучного функционирования. Если клиенты долго ожидают своей очереди, то они вряд ли будут совершать повторные покупки в универмаге, где им пришлось полчаса ждать, пока их обслужат, так как людям не нравится тратить время на ожидание. Основной целью теории очередей является изучение принципов функционирования системы обслуживания при возникновении очередей и исследование явлений, возникающих в процессе обслуживания.

Время пребывания требования в очереди можно сократить за счет увеличения количества обслуживающих устройств. Однако каждое дополнительное устройство требует определенных материальных затрат, при этом увеличивается время бездействия обслуживающего устройства из-за отсутствия требований на обслуживание, что также является негативным явлением. Следовательно, возникает проблема, каким образом достичь максимального сокращения очереди или потерь требований при минимальных затратах, связанных с простоем обслуживающих устройств.

Понятие теории очередей

Теория очередей в русскоязычной литературе чаще именуется теорией массового обслуживания. Действительно, во многих работах они трактуются как равнозначные, в других – теория очередей рассматривается лишь как раздел теории массового обслуживания, поскольку последней изучаются системы не только с очередями, но и с отказами, например, когда система занята, а очередь требований не образуется, так как им "отказывается" в обслуживании. Термин "массовое" предполагает статистическую устойчивость картины и многократную повторяемость ситуаций в том или ином смысле: много прибывших в систему и обслуженных заявок, большое число находящихся в эксплуатации аналогичных систем.

Теория очередей и теория массового обслуживания используются как равнозначные, так как мы не рассматриваем системы с отказами.

"Теория очередей – раздел прикладной математики, изучающий процессы, связанные с удовлетворением массового спроса на обслуживание, с учетом случайного характера спроса и обслуживания". Сюда относятся системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера, случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание.

Теория очередей возникла в начале XX в. на базе задач телефонии: требовалось найти способ определения числа телефонных линий, обеспечивающий удовлетворительное обслуживание абонентов. Специфику этой задачи составляет случайный характер моментов, когда абоненты вызывают друг друга, и длительность разговора. Вначале задача решалась эмпирическим путем; затем начала строиться теория, основанная на методах теории вероятностей. Задачи, аналогичные по математической постановке задачам телефонии, возникли при создании предприятий массового обслуживания, аэропортов, дорог автомобильных, при планировании железнодорожных перевозок, запасов продукции и т.п. Во второй половине 60-х гг. теория очередей стала применяться к различным задачам кибернетики: организации взаимодействия вычислительных машин, теории надежности, операций исследованию, радиотехнике, радиолокации и др.

В то же время "теория очередей – раздел исследования операций, который рассматривает разнообразные процессы в экономике, а также в телефонной связи, здравоохранении и других областях, как процессы обслуживания, т.е. удовлетворения каких-то запросов, заказов (напр., обслуживание кораблей в порту – их разгрузка и погрузка, обслуживание токарей в инструментальной кладовой цеха – выдача им резцов, обслуживание клиентов в прачечной – стирка белья и т. д.)".

При всем разнообразии эти процессы имеют общие черты:

Требования на обслуживание нерегулярно (случайно) поступают в канал обслуживания (место у причала, окно в раздаточной);

В зависимости от занятости канала, продолжительности обслуживания и других факторов образуют очередь требований.

Теория очередей изучает статистические закономерности поступления требований и на этой основе вырабатывает решения, т.е. такие характеристики, при которых затраты времени на ожидание в очереди, с одной стороны, и на простой каналов обслуживания – с другой, были бы наименьшими. Так можно рассматривать сумму потерь времени на ожидание в очередях и на простои каналов обслуживания (хранение товаров на складах) как меру эффективности изучаемой экономической системы: чем меньше потери, тем выше эффективность.

"Теория очередей изучает системы, в которых требования, застающие систему занятой, не теряются, а ожидают её освобождения и затем обслуживаются в том или ином порядке, также возможно предоставление приоритета определённым категориям требований".

Выводы теории очередей используют для рационального планирования систем массового обслуживания. Применение методов теории очередей необходимо даже в простейших случаях для правильного понимания статистических закономерностей, возникающих в системах массового обслуживания.

"Система массового обслуживания – объект (предприятие, организация и др.), деятельность которого связана с многократной реализацией исполнения каких-то однотипных задач и операций".

С точки зрения теории очередей это совокупность пунктов, на которые в случайные или неслучайные моменты времени поступают заявки на обслуживание или требования, подлежащие удовлетворению.

"Система массового обслуживания состоит из обслуживаемой и обслуживающей систем. Обслуживаемая система включает совокупность источников требований и входящего потока требований. Обслуживающая система состоит из накопителя и механизма обслуживания".

Система характеризуется следующими параметрами:

Требование/заявка – каждый отдельный запрос на выполнение какой-либо работы.

Входящий поток требований – требования, поступающие от всех источников в обслуживающую систему.

Время обслуживания – время, в течение которого выполняется заявка.

Интерактивность обслуживания – количество требований, обслуживаемых одним каналом в единицу времени.

Блок обслуживания – та часть системы обслуживания, в которую поступает поток требований. Он может состоять из одного или нескольких "приборов", "каналов", под которыми понимаются устройства или люди, осуществляющие обслуживание.

Примеров систем массового обслуживания можно привести очень много. Телефонная сеть: здесь заявка – вызов абонента, обслуживающее устройство – коммутатор. Универсам: заявка в этом случае – приход в магазин покупателя, а обслуживающее устройство – касса.

Можно, правда, рассматривать работу универсама и с противоположных позиций: считать, что кассир, ожидающий покупателя, – это заявка на обслуживание, а обслуживающее устройство – это покупатель, способный удовлетворить заявку, т.е. подойти к кассе с покупками и прекратить вынужденный простой кассира. Возможность такого двойственного подхода является основой для оптимизации структуры исследуемых систем.

Если, например, в магазине работает лишь одна касса, а покупатели заходят часто, то возникнет очередь покупателей, ожидающих обслуживания. Если же, наоборот, покупатели заходят редко, а кассиров несколько, то возникнет очередь кассиров, ожидающих покупателя. В обоих случаях магазин несет потери: в первом случае потому, что не все желающие купить товар будут обслужены, а во втором – потому, что кассиров слишком много и часть фонда их заработной платы будет расходоваться напрасно.

Поэтому, критерием правильности организации работы магазина может служить средняя сумма времени ожидания покупателя и времени ожидания кассира. Работа магазина организована наилучшим образом, если эта величина минимальна.

Задачи теории очередей

"Очередь представляет собой последовательность требований или заявок, которые, заставая систему обслуживания занятой, не выбывают, а ожидают ее освобождения, а затем они обслуживаются в том или ином порядке. Очередью можно назвать также и совокупность ожидающих каналов или средств обслуживания. Это ключевое понятие теории очередей".

Процесс образования очереди носит стохастический характер, так как состоит из случайных переменных, значения которых меняются во времени.

Очереди требований или заявок подразделяются, прежде всего, на замкнутые и линейные.

В первом случае обслуженные требования могут возвращаться в систему и вновь поступать на обслуживание. Например, автомашины, приписанные к определенному парку, могут образовать замкнутую очередь для зарядно-аккумуляторной станции этого парка. Или мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на еще одну наладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.

Во втором случае обслуженные требования не возвращаются в систему, например, зарядно-аккумуляторная станция общего пользования на автостраде. Также примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.

Дисциплина обслуживания – совокупность правил, пользуясь которыми, из очереди выбирают требования для обслуживания. По дисциплине обслуживания очереди также подразделяются на ряд видов: живая очередь, очередь с приоритетами, когда отдельным требованиям отдается предпочтение, случайные очереди и т.д.

Также важными параметрами являются длина очереди, т.е. среднее число ожидающих требований, и время ожидания обслуживания – среднее время пребывания требования в системе до момента начала обслуживания.

Задачи теории очередей, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов. Исходя из заданных вероятностных характеристик поступающего потока вызовов и продолжительности обслуживания, теория очередей определяет соответствующие характеристики качества обслуживания: вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания, среднее время простоя линий связи и т. д.

Время обслуживания – это время, затрачиваемое системой на обслуживание отдельного требования. Чаще всего длительность обслуживания является случайной величиной и характеризуется максимально возможным временем обслуживания. Это означает, что вероятность того, что время, затраченное на обслуживание требования, не больше чем предельно допустимое время.

Расчет пропускной способности системы подразумевает определение максимального числа требований, которые могут быть обслужены одновременно. Требования обслуживаются с помощью канала обслуживания. Канал обслуживания означает устройство, средство или человека, способное в заданный момент времени обслуживать лишь одно требование. Пропускная способность канала – один из определяющих параметров при решении задач теории очередей. Другой его важнейшей характеристикой является среднее время обслуживания одной заявки.

Доступность системы включает определение всевозможных причин, по которым число требований, удовлетворяемых одновременно, меньше, чем пропускная способность.

Кроме того, вся система может быть время от времени не готова к приему требований, например, обеденный перерыв в магазине, поэтому доступность включает характеристики времени "отключения" системы. Время "отключения" системы чаще всего считают, так же как и длительность обслуживания, случайной величиной и описывают вероятностью того, что канал или вся система отключается на определенное время. Реальные системы часто "неполнодоступны", хотя существуют и "полнодоступные" системы.

Важную роль в выполнении задач теории очередей выполняют модели теории очередей, с помощью которых проектируются модели оптимального обслуживания.

Модель теории очередей или модель оптимального обслуживания используется для определения оптимального числа каналов обслуживания по отношению к потребности в них. К ситуациям, в которых модели теории очередей могут быть полезны, можно отнести звонки людей в авиакомпанию для резервирования места и получения информации, ожидание в очереди на машинную обработку данных, мастеров по ремонту оборудования, очередь грузовиков под разгрузку на склад, ожидание клиентами банка свободного кассира. Если, например, клиентам приходится слишком долго ждать кассира, они могут решить перенести свои счета в другой банк. Подобным образом, если грузовикам приходится слишком долго дожидаться разгрузки, они не смогут выполнить столько поездок за день, сколько положено. Таким образом, одна принципиальная проблема заключается в уравновешивании расходов на дополнительные каналы обслуживания: больше людей для разгрузки грузовиков, больше кассиров, больше клерков, занимающихся предварительной продажей билетов на самолеты. Вторая принципиальная проблема заключается в поддержании потерь от обслуживания на уровне ниже оптимального: грузовики не могут сделать лишнюю остановку из-за задержек под разгрузкой, потребители уходят в другой банк или обращаются к другой авиакомпании из-за медленного обслуживания.

"Основная причина недостатка в каналах обслуживания заключается в краткосрочных изменениях частоты обращения потребителей за обслуживанием, а также времени обслуживания. Это ведет к избыточной пропускной способности в определенные моменты времени и появлению очередей в другие, хотя пропускная способность могла бы быть достаточной, если бы осуществлялся полный контроль за поступлением требований и можно было бы построить соответствующий график".

Модели очередей снабжают руководство инструментом определения оптимального числа каналов обслуживания, которые необходимо иметь, чтобы сбалансировать издержки в случаях чрезмерно малого и чрезмерно большого их количества.

Рассмотрим общую постановку задачи теории очередей в массовом обслуживании.

Имеется некоторая система, предназначенная для обслуживания поступающих в нее заявок или требований. Система располагает определенным количеством рабочих мест или средств обслуживания (каналы обслуживания). Поступление требований в систему и время их обслуживания носят случайный характер. При этом в системе возникают ситуации, когда:

1) либо образуется очередь требований в ожидании обслуживания;

2) либо простаивают каналы обслуживания.

И то и другое приводит к увеличению издержек обслуживания.

Чтобы не допустить неоправданного увеличения издержек, можно:

1) изменить среднее количество требований, поступающих в систему в единицу времени;

2) изменить количество каналов обслуживания;

3) изменить оба параметра.

Задачи теории очередей рассматриваются для действующих и проектируемых систем.

Для действующих систем дают количественную оценку функционирования системы и ее отдельных элементов, на основании которой принимают решения, направленные на совершенствование работы системы и улучшение ее организации.

Для проектируемых систем определяют ее оптимальные качественные и количественные характеристики:

1. Оптимальное количество каналов обслуживания.

2. Вероятность возникновения нежелательных ситуаций (простой каналов обслуживания, простой требований в очереди).

Таким образом, в любом из двух случаев модель задачи массового обслуживания включает в себя:

Поток заявок;

Каналы обслуживания;

Организацию очереди и дисциплину обслуживания;

Показатели эффективности.

Рассмотрим данные элементы задачи теории очередей.

Входящий поток требований представляет собой последовательность требований, поступающих в канал обслуживания. Требования возникают случайно и требуют определенного, обычно заранее точно не предсказуемого времени для их удовлетворения.

В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

Поток заявок однороден, если все заявки равноправны и рассматриваются только моменты времени поступления заявок, т.е. факты заявок без уточнения деталей каждой конкретной заявки.

В простейшем случае вероятность появления требования в любой малый промежуток времени пропорциональна длине этого промежутка и не зависит от того, возникали или нет требования в предшествующие промежутки времени.

Простейший поток важен по следующим причинам:

1. Сумма конечного числа независимых простейших потоков образует простейший поток с интенсивностью, равной сумме интенсивностей составляющих.

2. Сумма независимых стационарных потоков с ограниченным последействием при условии малой интенсивности составляющих в сравнении с суммарной интенсивностью при условии, что сумма потоков стремится к бесконечности, сходится к простейшему потоку.

3. Случайное прореживание произвольного стационарного ординарного потока с ограниченным последействием, т.е. выбрасывание каждого очередного требования независимо с некоторой вероятностью, при увеличении вероятности выбрасывания приближает поток к простейшему.

4. Вероятность наступления события простейшего (и только простейшего) потока на малом интервале времени пропорциональна продолжительности этого интервала и не зависит от его времени наступления интервала и его окончания, что дает колоссальные расчетные преимущества.

С его помощью возможно спроектировать модели, описывающие положение системы без учета других факторов.

Указанные свойства наблюдаются часто, но не всегда. Например, интенсивность потока заявок может зависеть от времени суток или года, заявки могут поступать группами постоянного или случайного объема. В случае неординарного потока требований в виде "пачек" постоянного объема удобнее переходить к ординарному потоку групповых заявок.

На практике условия простейшего потока не всегда строго выполняются. Часто имеет место нестационарность процесса: в различные часы дня и различные дни месяца поток требований может меняться, он может быть интенсивнее утром или в последние дни месяца. Существует также наличие последействия, когда количество требований на отпуск товаров в конце месяца зависит от их удовлетворения в начале месяца. Наблюдается и явление неоднородности, когда несколько клиентов одновременно пребывают на склад за материалами.

Входящий поток требований называется стационарным, если вероятность поступления определенного числа требований за какой-то промежуток времени определяется только величиной этого промежутка и не зависит от момента его начала. Если требования могут поступать в систему только по одному, то такой поток называется ординарным. Если числа поступающих за разные промежутки времени заявок взаимно независимы – это поток без последействия.

Если требования поступают в определенные моменты времени, то говорят о дискретном входящем потоке. Системы с такими потоками наиболее распространены. К их числу относятся, например, телефонная сеть, универсам. Встречаются и системы с непрерывным входящим потоком. Примером может служить газгольдер, в который непрерывно поступает газ, причем снятие с хранения, так как в данном случае именно это и является обслуживанием, может осуществляться как дискретно, ведь газ может требоваться отдельными порциями, так и непрерывно.

Если в систему может поступить одновременно только конечное число требований, входящий поток называется ограниченным; в противоположном случае – неограниченным. Например, если ремонтная бригада обслуживает участок из 30 станков, то число требований – отказов станков – не может быть одновременно более 30, а в задаче о нагрузке телефонной сети входящий поток обычно можно считать неограниченным.

Системы обслуживания по числу установленных устройств делятся на одно- и многоканальные. Количество требований, одновременно могущих находиться на обслуживании, не превышает числа каналов. В многоканальной системе массового обслуживания поступившее требование может быть обслужено одним из нескольких каналов, входящих в блок обслуживания. Каналы могут быть однородными, специализированными по типам заявок, различающимися интенсивностью обслуживания и т.п.

Заявки, пришедшие в занятую систему, не могут быть обслужены немедленно и образуют очередь. Очередь может быть ограничена максимальной длиной или максимальным временем пребывания в ней. Примером задачи с временным ограничением является прибытие на стройку самосвала с бетонной смесью. При нарушении ограничения заявка получает отказ. Введение ограничения автоматически исключает очень большие задержки, но связано с дополнительными "штрафами" за отказ в обслуживании.

Вновь прибывшая заявка в зависимости от организации и назначения системы становится либо в конец очереди (дисциплина FCFS: First Come – First Served), либо в ее начало (LCFS: Last Come – First Served). Последний вариант иначе называется стековым ("магазинным") принципом.

При неоднородных заявках может вводиться приоритетное обслуживание. В этом случае заявки выстраиваются в несколько очередей, и в освободившийся канал поступает заявка из непустой очереди с наивысшим приоритетом. В некоторых ситуациях (абсолютный приоритет)

Наиболее важными показателями эффективности системы являются:

1. вероятность отказа в приеме заявки на обслуживание;

2. вероятность нулевого ожидания, т.е. вероятность того, что требование будет обслужено сразу после поступления в систему;

3. время пребывания заявки в системе;

4. время ожидания начала обслуживания;

5. длина очереди;

6. распределение и моменты длительности непрерывной занятости системы.

Также системы оценивают по характеристикам распределения времени пребывания. Характеристики ожидания и, в частности, его средняя длительность отражают цену, которую клиент должен заплатить за совместное с другими клиентами использование обслуживающей системы.

Использование теории очередей при создании систем массового обслуживания в коммерческой деятельности

Природа массового обслуживания, особенно в такой сфере, какой является коммерческая деятельность, весьма тонка и сложна. Коммерческая деятельность связана с выполнением множества операций на этапах движения товарной массы из сферы производства в сферу потребления. Такими операциями являются погрузка товаров, перевозка, разгрузка, хранение, обработка, фасовка, реализация. Кроме этих операций процесс движения товаров сопровождается большим количеством предварительных, подготовительных, сопутствующих, параллельных и последующих операций с платежными документами, тарой, деньгами, автомашинами, клиентами и т.п.

Для перечисленных фрагментов коммерческой деятельности характерны массовость поступления товаров, денег, посетителей в случайные моменты времени, затем их последовательное обслуживание (удовлетворение требований, запросов, заявок) путем выполнения соответствующих операций, время выполнения которых носит также случайный характер. Все это создает неравномерность в работе, порождает недогрузки, простой и перегрузки в коммерческих операциях. Много неприятностей доставляют очереди, например, посетителей в кафе, столовых, ресторанах, водителей автомобилей на товарных базах, ожидающих разгрузки, погрузки или оформления документов. В связи с этим возникают задачи анализа существующих вариантов выполнения всей совокупности операций, например, торгового зала супермаркета, ресторана или в цехах производства собственной продукции для целей оценки их работы, выявления слабых звеньев и резервов для разработки в конечном итоге рекомендаций, направленных на увеличение эффективности коммерческой деятельности.

Кроме того, возникают другие задачи, связанные с созданием, организацией и планированием нового экономичного, рационального варианта выполнения множества операций в пределах торгового зала, кондитерского цеха, всего производства ресторана, кафе, столовой, планового отдела, бухгалтерии, отдела кадров и др.

Роль заявок в коммерческой деятельности выполняют товары, посетители, деньги, ревизоры, документы, а роль каналов обслуживания – продавцы, администраторы, повара, кондитеры, официанты, кассиры, товароведы, грузчики, торговое оборудование и др. Важно заметить, что в одном варианте, например, повар в процессе приготовления блюд является каналом обслуживания, а в другом – выступает в роли заявки на обслуживание, например, к заведующему производством за получением товара.

Заявки в силу массовости поступления на обслуживание образуют потоки, которые до выполнения операций обслуживания называются входящими, а после возможного ожидания начала обслуживания, т.е. простоя в очереди, образуют потоки обслуживания в каналах, а затем формируется выходящий поток заявок. В целом совокупность элементов входящего потока заявок, очереди, каналов обслуживания и выходящего потока заявок образует простейшую одноканальную систему массового обслуживания – СМО, структурная модель которой представлена на рис. 1.

Под системой понимается совокупность взаимосвязанных и целенаправленно взаимодействующих частей (элементов). Примерами таких простейших СМО в коммерческой деятельности являются места приема и обработки товаров, узлы расчета с покупателями в магазинах, кафе, столовых, рабочие места экономиста, бухгалтера, коммерсанта, повара на раздаче и т.д.

Рисунок 1. Структурная модель одноканальной системы массового обслуживания

Процедура обслуживания считается завершенной, когда заявка на обслуживание покидает систему. Продолжительность интервала времени, требуемого для реализации процедуры обслуживания, зависит в основном от характера запроса заявки на обслуживание, от состояния самой обслуживающей системы и канала обслуживания.

Действительно, продолжительность пребывания покупателя в супермаркете зависит, с одной стороны, от личностных качеств покупателя, его запросов, от ассортимента товаров, который он собирается приобрести, а с другой – от формы организации обслуживания и обслуживающего персонала, что может значительно сократить пребывание покупателя в супермаркете и повысить интенсивность обслуживания. Например, овладение кассирами-контролерами работы "слепым" методом на кассовом аппарате позволило увеличить пропускную способность узлов расчета в 1,3 раза и сэкономить время, затрачиваемое на расчеты с покупателями по каждой кассе, более чем на 1,5 ч в день. Внедрение единого узла расчета в универмаге дает следующие ощутимые преимущества покупателю. Так, если при традиционной форме расчетов время обслуживания одного покупателя составляло в среднем 1,5 мин, то при введении единого узла расчета – 67 с. Из них 44 с уходят на оформление покупки в секции и 23 с непосредственно на расчеты за покупки при выходе из магазина. Если покупатель делает несколько покупок в разных секциях, то потери времени сокращаются при приобретении двух покупок в 1,4 раза, трех – в 1,9, пяти – в 2,9 раза.

Задачи организации массового обслуживания возникают практически во всех сферах коммерческой деятельности, например, обслуживание продавцами покупателей в магазинах, обслуживание посетителей на предприятиях общественного питания, обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслуживания, обеспечение телефонных разговоров на телефонной станции, оказание медицинской помощи больным в поликлинике и т.д. Во всех приведенных примерах возникает необходимость в удовлетворении некоторой потребности большого числа потребителей.

Любой запрос на удовлетворение какой-либо потребности является заявкой или требованием. Например, заявками, нуждающимися в обслуживании, являются покупатели в магазинах, заявки на телефонные разговоры, заявки на получение товара и т.д.

Под обслуживанием заявок понимается удовлетворение потребности. Обслуживание в приведенных примерах имеет различный характер по своей природе. Однако во всех примерах поступившие заявки нуждаются в обслуживании со стороны какого-либо устройства. В некоторых случаях обслуживание производится одним человеком (обслуживание покупателя одним продавцом в одной секции магазина), в некоторых – группой людей (обслуживание больного врачебной комиссией в поликлинике), а в некоторых случаях – техническими устройствами (продажа газированной воды, бутербродов автоматами). Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание заявок, называется каналом обслуживания.

Если каналы обслуживания способны удовлетворить одинаковые заявки, то каналы обслуживания называются однородными. Совокупность однородных каналов обслуживания называется обслуживающей системой.

В систему массового обслуживания поступает большое количество заявок в случайные моменты времени, длительность обслуживания которых также является случайной величиной. Последовательное поступление заявок в систему обслуживания называется входящим потоком заявок, а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания, – выходящим потоком.

Случайный характер распределения длительности выполнения операций обслуживания наряду со случайным характером поступления требований на обслуживание приводит к тому, что в каналах обслуживания протекает случайный процесс, который может быть назван (по аналогии с входным потоком заявок) потоком обслуживания заявок или просто потоком обслуживания.

Заявки, поступающие в систему обслуживания, могут покинуть ее и будучи необслуженными. Например, если покупатель не найдет в магазине нужный товар, то он покидает магазин, будучи необслуженным. Покупатель может покинуть магазин также, если нужный товар имеется, но большая очередь, а покупатель не располагает временем.

Теория массового обслуживания занимается изучением процессов, связанных с массовым обслуживанием, разработкой методов решения типичных задач массового обслуживания.

При исследовании эффективности работы системы обслуживания важную роль играют различные способы расположения в системе каналов обслуживания.

При параллельном расположении каналов обслуживания требование может быть обслужено любым свободным каналом. Примером такой системы обслуживания является расчетный узел в магазинах самообслуживания, где число каналов обслуживания совпадает с числом кассиров-контролеров.

На практике часто обслуживание одной заявки осуществляется последовательно несколькими каналами обслуживания. При этом очередной канал обслуживания начинает работу по обслуживанию заявки после того, как предыдущий канал закончил свою работу. В таких системах процесс обслуживания носит многофазовый характер, обслуживание заявки одним каналом называется фазой обслуживания. Например, если в магазине самообслуживания имеются отделы с продавцами, то покупатели сначала обслуживаются продавцами, а потом уже кассирами-контролерами.

Организация системы обслуживания зависит от воли человека. Под качеством функционирования системы в теории массового обслуживания понимают не то, насколько хорошо выполнено обслуживание, а то, насколько полно загружена система обслуживания, не простаивают ли каналы обслуживания, не образуется ли очередь.

В коммерческой деятельности заявки, поступающие в систему массового обслуживания, выступают с высокими претензиями еще и на качество обслуживания в целом, которое включает не только перечень характеристик, исторически сложившихся и рассматриваемых непосредственно в теории массового обслуживания, но и дополнительные характерные для специфики коммерческой деятельности, в частности отдельных процедур обслуживания, требования к их уровню которые к настоящему времени сильно возросли. В связи с этим необходимо учитывать еще и показатели коммерческой деятельности.

Работу системы обслуживания характеризуют такие показатели, как время ожидания начала обслуживания, длина очереди, возможность получения отказа в обслуживании, возможность простоя каналов обслуживания, стоимость обслуживания и в конечном итоге удовлетворение качеством обслуживания, которое еще включает показатели коммерческой деятельности. Чтобы улучшить качество функционирования системы обслуживания, необходимо определить, каким образом распределить поступающие заявки между каналами обслуживания, какое количество каналов обслуживания необходимо иметь, как расположить или сгруппировать каналы обслуживания или обслуживающие аппараты для обслуживания и улучшения показателей коммерческой деятельности.

Использование теории очередей в системе дистанционного образования при расчете оптимальной пропускной способности системы

В вопросах ценообразования в сфере дистанционного образования (ДО) вполне очевидной выглядит необходимость расчета оптимальной пропускной способности самой системы ДО, обусловленной технологическими ограничениями системы, как то суммой ставок профессорско-преподавательского состава (ППС) для каждого курса отдельной специальности, учебным планом и т.п., т.е. в самом общем случае трудоемкостью учебного процесса. Отталкиваясь от оптимальной пропускной способности можно рассчитать нижний предел себестоимости услуг ДО, что в дальнейшем окажется необходимым для сравнительного анализа цены в сопоставлении с потребительской и конкурентной ценами.

Сначала коротко рассмотрим самый очевидный метод расчета предельно допустимого количества ст. в системе (как параметра пропускной способности системы), основанный на простом арифметическом выражении, учитывающем производственные возможности научно-педагогического потенциала вуза.

Технологические возможности процесса оказания услуг ДО ограничиваются трудоемкостью учебно-методического сопровождения. Последняя инициатива Минобразования РФ, касающаяся установления нормативов численности студентов в расчете на единицу ППС, относится к формированию в 1999 г. рабочей группы (Приказ от 14.05.99 N 1302), по результатам деятельности которой подготовлен отчет, не нашедший, однако, практической реализации. Тем не менее, данные исследования позволяют рассматривать следующие соотношения численности студентов для вузов:

Студенты очной формы – 1:10

Студенты очно-заочной формы – 1:18,75

Студенты заочной формы – 1:43,75

Студенты-иностранцы – 1:7,50

Аспиранты очной формы – 1:7,50

Аспиранты заочной формы – 1:10

Слушатели ФПК и ИППК – 1:7,50

Слушатели подготовительных отделений – 1:10

Ординаторы – 1:3,75

Интерны – 1:5.

Для целей нашей работы остановимся, например, на соотношении, предложенном для студентов заочной формы обучения, т.е. 43,75 студента на единицу ППС.

Следовательно, взяв за основу текущую обеспеченность трудовыми ресурсами учебного процесса дистанционного образования, и опираясь на предложенные нормативы, исходя из данных учебного плана для курса специальности (i), рассчитываем среднюю нагрузку на единицу ППС (для заочной формы обучения):

Q_i = численность_i ППС \xx 43,75\xx ((ЧаГ – ЧаСР)/ЧаКП, согл.учебному плану_i) (1)

ЧаГ – число академических часов в году (исследуемом периоде),

ЧаСР – число академических часов, предусмотренных для самостоятельной работы студента, согласно учебного плана,

ЧаКП – число академических часов, предусмотренных для консультаций с преподавателями, согласно учебного плана.

В расчетах принимает участие численность ППС с полной рабочей ставкой, иначе говоря сумма ставок ППС по данной специальности, т.е. она необязательно выступает целым числом. Отметим, что необходимо соблюдать единообразие в формулировках относительно академических и рабочих часов. В числителе введено выражение для расчета суммы академических часов для периода, в течение которого студент может обратиться за консультацией к преподавателю. Поясним его.

Ключевым нормативным ведомственным актом, направленным на правовое регулирование дистанционного образования, является Приказ Минобразования РФ от 18 декабря 2002 г. № 4452 "Об утверждении Методики применения дистанционных образовательных технологий (дистанционного обучения) в образовательных учреждениях высшего, среднего и дополнительного профессионального образования Российской Федерации". Он прямо указывает на обязанность образовательного учреждения обеспечивать каждому обучающемуся возможность доступа к средствам дистанционного обучения и основному информационному ресурсу в объеме часов учебного плана, необходимых для освоения соответствующей образовательной программы или ее части, независимо от формы обучения (очная, вечерняя, заочная) (п.11). Из этого выражения (1) перейдем к следующему равенству:

Q_i/(Ч_а Г – Ч_а СР) = (численность_i ППС \xx 43,75)/ЧаКП, согл.учебному плану_i (2)

Отношение в левой части равенства является, фактически, средней интенсивностью потока заявок в системе массового обслуживания, в дальнейшем станем обозначать его через λ. Отношение в правой части равенства представляет собой интенсивность обслуживания, в дальнейшем обозначаемую через μ. При выполнении условия:

((\r = \l /\m)) <= 1 (3), где

ρ – т.н. коэффициент загрузки системы, система работает в стационарном режиме. В стационарном режиме среднее число заявок в СМО постоянно, поэтому среднее число заявок, приходящих в СМО в единицу времени, равно среднему числу заявок, в единицу времени, уходящих из СМО. Следовательно, в стационарном режиме интенсивность потока уходящих заявок равна λ. Коэффициент загрузки ρ в стационарном режиме есть:

а) среднее значение той части единицы времени, в течение которой канал занят;

б) вероятность того, что канал занят;

в) среднее число заявок в канале.

Именно с этого момента мы начинаем говорить о механизме ДО, как о системе массового обслуживания и вносим при этом некоторые специфические поправки в выражения.

Рассматриваемая система относится к виду многоканальных (по числу дисциплин) СМО с очередью (ожиданием). В принятой системе обозначений она выглядит как M|M|n, т.е. система с n каналов обслуживания (количества дисциплин согласно учебного плана), в которой закон распределения вероятностей для входящего потока заявок и обслуживания является экспоненциальным.

Поскольку мы рассматриваем в качестве каналов обслуживания не штатную единицу ППС, а именно дисциплину, то логично будет записать следующее выражение для λ:

\l = n\xx (Q_i/(ЧаГ – ЧаСР)) (4), где

n – число дисциплин, согласно учебного плана. Т.е. в нашем случае мы рассматриваем каждого студента как источник n заявок, которые могут занимать систему. Это имеет смысл, поскольку, в частности, мы принимаем значение μ за среднее и рассматриваем пропускную способность канала относительно единовременного запроса студента, а не совокупности таких запросов, что было бы некорректно.

Для многоканальной СМО \r = \l \xx Т_обсл/n (5), где

Тобсл есть среднее время обслуживания канала, или. Его значение также должно удовлетворять выражению стационарности (3).

L = \b_0 \xx ((\l Т_обсл)^(n+1)/(n!n(1-\l Т_обсл/n)^2)) (6), где

где β0 – стационарная вероятность того, что в СМО нет заявок. Эта вероятность определяется в виде:

\b_0 = 1/((\l Т_обсл)^n/n!(1-\l Т_обсл/n)+sum(m=0,n-1, (\l Т_обсл)^m/m!)) (7)

Варьируя численность студентов в системе, мы получаем закон распределения длины очереди, представленный, например, на рисунке 2.

Рисунок 2. Зависимость средней длины очереди L в системе дистанционного образования от количества студентов Qi.

Следует обратить внимание, что предельное значение Qi отнюдь не выражает оптимального состояния системы с т.з. удовлетворения качественных потребностей потребителя услуг. Действительно, мы замечаем, что длина очереди, и, следовательно, время ожидания заявки в системе заметно прогрессирует при, достигая недопустимых значений. Однако появляется возможность выбора того оптимального значения Qi, при котором потребитель будет удовлетворен режимом обслуживания. С точки зрения маркетинга ДО, этот показатель будет важен не только при калькуляции себестоимости и последующего ценообразования, но и при анализе технологических возможностей конкурентов.

Использование методов теории очередей в маркетинговых исследованиях в области дистанционного образовании выглядит достаточно целесообразным.

Литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М: Высшая школа, 2003.

2. Грачева М.В. Моделирование экономических процессов. – М.: Юнити-Дана, 2005 г.

3. Касамин Н.С. Элементы теории и практики управления очередями в организациях. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2003.

4. Косоруков О.А. Исследование операций. – М.: Экзамен, 2005.

5. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. – М.: Высшая школа, 2004.

6. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами. – СПб: Питер, 2004.

7. Соломенцев Ю.М.Технологические основы гибких производственных систем. – М.: Вузовский учебник, 2007 г.

8. Уткин В.Б., Балдин К.В. Информационные системы и технологии в экономике. – М.: Юнити, 2005.

9. Фомин Г.П., Математические методы и модели в коммерческой деятельности. – М: Финансы и статистика, 2004.

10. Хемди А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2004.

11. Шапкин, А.С. Мазаева Н.П. Математические методы и модели исследования операций. – М.: Дашков и К, 2004.

12. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Уральский Государственный Технический Университет – УПИ»

Теория очередей. Закономерности образования очередей и способы предсказания среднего размера очереди.

По дисциплине: Теория информационных процессов и систем

Екатеринбург, 2007г.

ВВЕДЕНИЕ
1. КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ЭРЛАНГА
1.1. Составление уравнений
1.2. Определение стационарного решения
1.3. Некоторые подготовительные результаты
1.4. Определение функции распределения длительности ожидания
1.5. Средняя длительность ожидания
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
2.1. Математическая модель
2.2. Решение поставленной задачи
2.3. Анализ результатов
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Введение.

Во многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях, в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешение на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах, в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах организации в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств.

В теории систем массового обслуживания обслуживаемый объект называют требованием . В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности, например, разговор с абонентом, посадка самолета, покупка билета, получение материалов на складе.

Средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Например, к ним относятся каналы телефонной связи, посадочные полосы, мастера-ремонтники, би­летные кассиры, погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах.

Системы массового отсчета с ожиданием распространены наиболее широко. Эти системы определяют так же, как системы с ограниченным входящим потоком. Их можно разделить на две группы:

1) Замкнутые - системы, в которых поступающий поток требований ограничен. Например, мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на наладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.

2) Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.

Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований.

Это можно изобразить так:

https://pandia.ru/text/78/375/images/image001_340.jpg" width="61" height="19">Входящий поток Очередь

Обслуживающие устройства Выходящий поток

Изучение СМО начинается с анализа входящего потока требований. Входящий поток требований представляет собой совокупность тре­бований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономер­ностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания.

В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также ин­тервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований и определяется следующим соотношением:

где Т - среднее значение интервала между поступлением очередных требований.

Для многих реальных процессов поток требований достаточно хоро­шо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называет­ся простейшим.

Простейший поток обладает такими важными свойствами:

1) Свойством стационарности , которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных перио­дов времени, к примеру, в начале и в конце декады.

2) Отсутствия последействия , которое обуславливает взаимную не­зависимость поступления того или иного числа требований на обслужи­вание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от чис­ла требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Напри­мер, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день ме­сяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.

3) Свойством ординарности, которое выражает практическую невозмож­ность одновременного поступления двух или более требований (вероят­ность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляется к нулю).

Первые математические работы по системам обслуживания появились в начале двадцатого века. Они были тесно связаны с практическими задачами, касавшимися вопросов обслуживания телефонных линий, определения оптимального количества касс и продавцов в торговых предприятиях, выработки правил расчета запасов в магазинах, достаточных для их бесперебойной работы. Среди этих работ особо важное место занимают исследования датского ученого.

1. Классическая задача Эрланга.

Рассмотрим классическую задачу Эрланга: На m одинаковых приборов поступает простейший поток требований интенсивности l . Если в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный прибор, оно немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то вновь поступившее требование становится в очередь за всеми теми требованиями, которые поступили раньше и еще не начали обслуживаться. Освободившийся прибор немедленно приступает к обслуживания очередного требования, если только имеется очередь. Каждое требование обслуживается только одним прибором, и каждый прибор обслуживает в каждый момент не более одного требования.

Длительность обслуживания представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x) .

За x берем время (часы, минуты и т. д.).

Предполагается, что при x ³ 0

F(x) = 1 - e- m x

где m > 0 - постоянная.

Эрланг решил эту задачу, имея в виду постановки вопросов возникших к тому времени в телефонном деле.

Выбор распределения вероятностей F(x) для описания деятельности обслуживания произведен не случайно. Дело в том, что в этом предположении задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной для практики точности описывает ход интересующего нас процесса. Мы увидим, что распределение вероятностей F(x) играет в теории массового обслуживания исключительную роль, которая в значительной мере вызвана следующим свойством:

При показательном распределении длительности обслуживания распределение деятельности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.

Действительно, пусть fa(t) означает вероятность того, что обслуживание, которое уже продолжается время a , продлится еще не менее чем t . В предположении, что длительность обслуживания распределена показательно, f0(t)=e- m t .

f 0 (a )= e - m a и f 0 (a + t )= e - m (a +1) .

А так как всегда

f0(a+t) = f0(a) fa(t), то e- m (a+t) = e- m a f0(t)

и, следовательно,

fa(t) = e- m t = fo(t).

Требуемое доказано.

Несомненно, что в реальной обстановке показательное время обслуживания является, как правило, лишь грубым приближением к действительности. Так, нередко время обслуживания не может быть меньше, чем некоторая определенная величина. Предположение распределения вероятностей F(x) приводит к тому, что значительная доля требований нуждается лишь в кратковременной операции близкой к 0. Позднее перед нами возникает задача освобождения от излишнего ограничения, накладываемого предположением распределения вероятностей F(x) . Необходимость этого была ясна уже самому Эрлангу, и он в ряде работ делал усилия найти иные удачные распределения для длительности обслуживания. В частности, им было предложено так называемое распределение Эрланга , плотность распределения которого дается формулой

где, m > 0, а k - целое положительное число.

Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы k независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение вероятностей F(x)

Обозначим для случая распределения вероятностей F(x) через h время обслуживания требования. Тогда средняя длительность обслуживания равна

Это равенство дает нам способ оценки параметра m по опытным данным. Как легко вычислить, дисперсия длительности обслуживания равна

1. Составление уравнений.

Система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет собой случайный процесс Маркова.

Найдём те уравнения, которым удовлетворяют вероятности Pk(t). Одно из уравнений очевидно, а именно для каждого t

Найдем сначала вероятность того, что в момент t+h все приборы свободны. Это может произойти следующими способами:

В момент t все приборы были свободны и за время h новых требований не поступало;

В момент t один прибор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны; за время h обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило.

Остальные возможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на них была закончена - имеют вероятность o(h), как легко в этом убедится.

Вероятность первого из указанных событий равна

вероятность второго события

Таким образом,

Отсюда очевидным образом приходим к уравнению

Перейдем теперь к составлению уравнений для Pk(t) при k ³ 1. Рассмотрим отдельно два различных случая:

1) Пусть вначале 1 £ k < m . Перечислим только существенные состояния, из которых можно прийти в состояние Ek в момент t+h . Эти состояния таковы:

В момент t Ek , за время h новых требований не поступило, и ни один прибор не окончил обслуживания. Вероятность этого события равна

В момент t система находилась в состоянии Ek-1 , за время h поступило новое требование, но ни одно ранее находившееся требование не было закончено обслуживанием. Вероятность этого события равна

В момент t система находилась в состоянии Ek+1 , за время h новых требований не поступило, но одно требование было обслужено. Вероятность этого равна

Все остальные мыслимые возможности перехода в состояние Ek за промежуток времени h имеют вероятность, равную 0(h).

Собрав воедино найденные вероятности, получаем следующее

равенство:

Несложные преобразования приводят нас к такому уравнению

для 1 £ k < m:

2) Подобные же рассуждения для k ³ m приводят к уравнению

Для определения вероятностей Pk(t) мы получили бесконечную систему дифференциальных уравнений. Ее решение представляет несомненные технические трудности.

2. Определение стационарного решения.

В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение для t ® ¥ . Существование таких решений устанавливается так называемыми эргодическими теоремами. В рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введем для них обозначения Pk . Заметим, что при t ® ¥ .

Сказанное позволяет заключить, что уравнения

для стационарных вероятностей принимают следующий вид:

при 1 £ k < m

при k ³ m

К этим уравнениям добавляется нормирующее условие

Для решения полученной бесконечной алгебраической системы введем обозначения:

при 1 £ k < m

при k ³ m

Система уравнений в этих обозначениях принимает такой вид:

z1 = 0, zk - zk+1 = 0 при k ³ 1

Отсюда заключается, что при всех k ³ 1 zk = 0

т. е. при 1 £ k < m

k m Pk = l Pk-1

и при k ³ m

m m Pk= l Pk-1

Введем для удобства записи обозначение

r = l / m .

Уравнение k m Pk = l Pk-1 позволяет заключить, что при 1 £ k < m

При k ³ m из уравнения m m Pk= l Pk-1 находим, что

и следовательно, при k ³ m

Остается найти P0. Для этого в подставляем выражения полученного Pk.

В результате

Так бесконечная сумма, стоящая в квадратных скобках, находится только при условии, что

r < m

то при этом положении находим равенство

Если условие r < m не выполнено, т. е. если r ³ m, то ряд, стоящий в квадратной скобке уравнения для определения P0 , расходится и, значит, P0 должно быть равно 0..gif" width="71" height="44 src=">при всех k ³ 1 оказывается Pk = 0.

Методы теории цепей Маркова позволяют заключить, что при r ³ m с течением времени очередь стремится к ¥ по вероятности.

3. Некоторые подготовительные результаты.

Для задачи с ожиданием основной характеристикой качества обслуживания является длительность ожидания требованием начала обслуживания. Длительность ожидания представляет собой случайную величину, которую обозначим буквой g . Рассмотрим сейчас только задачу определения распределения вероятностей длительности ожидания в уже установившемся процессе обслуживания. Обозначим далее через P { g > t } вероятность того, что длительность ожидания превзойдет t, и через Pk { g > t } вероятность неравенства, указанного в скобке, при условии, что в момент поступления требования, в очереди уже находится k требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство

P { g > t } = .

Прежде чем преобразовать эту формулу к виду, удобному для пользования, приготовим некоторые необходимые нам для дальнейшего сведения.

Вычислим теперь вероятность того, что все приборы будут заняты в какой-то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность равна

4. Определение функции распределения длительности ожидания.

Если в момент поступления требования в очереди уже находились k - m требований, то поскольку обслуживание происходит в порядке очередности, вновь поступившее требование должно ожидать, когда будут обслужены

k – m + 1 требований.

Пусть qs(t) означает вероятность того, что за промежуток времени длительности t после поступления интересующего нас требования закончилось обслуживание ровно S требований. Ясно, что k ³ m имеет место равенство

Так как распределение длительности обслуживания предположено показательным и независящим ни от того, сколько требований находится в очереди, ни от того, как велики длительности обслуживания других требований, то вероятность за время t не завершить ни одного обслуживания (т. е. вероятность того, что не освободится ни один из приборов) равна

Если все приборы заняты обслуживанием и еще имеется достаточная очередь требований, которые ожидают обслуживания, то поток обслуженных требований будет простейшим. Действительно, в этом случае все три условия - стационарность, отсутствие последействия и ординарность - выполнены. Вероятность освобождения за промежуток времени t ровно s приборов равна (это можно показать и простым подсчетом)

и, следовательно,

Но вероятности Pk известны:

очевидными преобразованиями приводим правую часть последнего равенства к виду

Из формул и следует, что , поэтому при t>0

.

Само собой разумеется, что при t<0 .

Функция имеет в точке t = 0 разрыв непрерывности, равный вероятности застать все приборы занятыми.

5. Средняя длительность ожидания.

Формула позволяет находить все интересующие нас числовые характеристики длительности ожидания. В частности, математическое ожидание длительности ожидания начала обслуживания или, как предпочитают говорить, средняя длительность ожидания равна

Несложные вычисления приводят к формуле

Дисперсия величины g равна

.

Формула дает среднюю длительность ожидания одного требования. Найдем среднюю потерю времени требованиями, пришедшими в систему обслуживания в течение промежутка времени T . За время T в систему поступает l T требований в среднем; общая потеря ими времени на ожидание в среднем равна

Приведем небольшие арифметические подсчеты, которые про­демонстрируют нам, как быстро возрастают суммарные потери времени па ожидание с изменением величины . При этом мы ограничиваемся случаем Т=1 и рассматриваем лишь самые малые значения т: т = 1 и т = 2.

При т=1 в силу (20)

При р = 0,1; 0,3; 0,5; 0,9 значение приблизительно равно 0,011; 0,267; 0,500; 1,633; 8,100.

При m = 2 в силу (24)

При = 0,1; 1,0; 1,5; 1,9 значение приблизительно равно 00003; 0,333; 1,350; 17,537.

Приведённые данные иллюстрируют хорошо известный факт относительно большой чувствительности систем обслуживания, уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию загрузки. Потребитель при этом сразу ощущает значительное возрастание длительности ожидания. Этот факт обязательно следует учитывать при расчёте загрузки оборудования в системах массового обслуживания.

Постановка задачи.

На станции технического обслуживания (СТО) легковых автомобилей имеется 7 рабочих мест по обслуживанию клиентов. По статистическим данным в час поступает 2 заявки на обслуживания легковых автомобилей. Среднее время обслуживания 1 заявки составляет 3 часа 24 минуты.

Если поступивший клиент застает на СТО весь рабочий персонал занятым, то он встает в очередь и ждет до тех пор, пока не освободится рабочее место.

Каждый мастер, в любой момент времени, может обслуживать не более одного клиента. Обслуженный клиент покидает СТО.

Проанализировать структуру и процесс обслуживания СТО. Для этого требуется разработать показатели эффективности систем массового обслуживания. Например, требуется знать: вероятность того, что занято или свободно k приборов; распределение вероятностей свободных или занятых приборов от обслуживания; вероятность того, что в очереди находится заданное число требований; вероятность того, что время ожидания в очереди превысит заданное. К показателям, характеризующих эффективное функционирование системы в среднем, относятся: средняя длина очереди; среднее число занятых приборов; коэффициент загрузки системы.

1. Математическая модель.

Имеем систему массового обслуживания, из n = 7 идентичных приборов, на которую поступает поток требований α = 2, интенсивностью β = 0,29411(1/ч).

При простейшем потоке требований распределение требований, поступающих в систему подчиняются закону распределения Пуассона:

вероятность DIV_ADBLOCK97">

где https://pandia.ru/text/78/375/images/image057_47.gif" width="231 height=25" height="25">

где https://pandia.ru/text/78/375/images/image059_45.gif" width="15 height=28" height="28">.gif" width="716 height=299" height="299">

Рис.1. Требование в системе.

Пусть D t – достаточно малый промежуток времени. Вероятность того, что в СМО за время D t не поступит ни одного требования:

Вероятность того, что в СМО за время Dt поступит одно требование:

Вероятность того, что за время Dt в СМО поступит два или более требований:

Вероятность того, что за время Dt требование будет обслужено:

Вероятность того, что за время Dt будет обслужено два или более требования:

Вероятность того, что за время Dt будет обслужено одно из к требований, находящихся в системе, найдем следующим образом:

Https://pandia.ru/text/78/375/images/image069_37.gif" width="381 height=48" height="48">;